如果一項資產的波動性相對於其平均回報率足夠高,那麼隨着時間推移,Uniswap 上的流動性提供者將比囤幣者的表現更好。

原文標題:《Paradigm 最新研究:Uniswap 的金融鍊金術
撰文:Dave White、Martin Tassy、Charlie Noyes 與 Dan Robinson,均就職於 Paradigm
翻譯:灑脫喜

研究者認爲,即使 Uniswap 流動性提供者(LP)在每一筆套利者交易中都經歷虧損,但在某些情況下,由於波動性收穫,他們仍然能比單純持幣的表現更好,在這種情況下,手續費設置應儘量接近於零,而不應爲零,以儘可能多地進行再平衡。

原文作者是來自投資機構 Paradigm 的研究人員 Dave White、Martin Tassy、Charlie Noyes 以及 Dan Robinson,他們也是 Uniswap 的種子輪投資方。

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?在無情的套利下,Uniswap LP 反而變得富有

問題

10 月 14 日,Charlie Noyes 在 Twitter 上貼出了一個他與 Dan Robinson 一直在爭論的問題:

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?

「對於任何 Uniswap 資產對,最佳的費用是多少?這種最優的費用,能否擊敗一個未平衡的投資組合,實現去除無常損失,甚至超額增長?」

背景

自動化做市商(AMM)是一類去中心化交易所,它允許客戶在像 USDC 和 ETH 這樣的鏈上資產之間進行交易。而 Uniswap 是以太坊上最流行的 AMM,與大多數資產管理系統一樣,Uniswap 通過持有兩種資產的儲備來促進特定資產對之間的交易。它根據其儲備金的規模來確定它們之間的交易價格,從而使價格與更廣泛的市場保持一致。

任何願意加入某一對資產池的人,我們稱他們爲流動性提供者,或簡稱爲 LP,這些人會同時向兩個儲備資產貢獻資產,他們要承擔部分交易風險,以換取部分手續費回報。

設置的問題

該資產池在穩定幣與價格隨機變動的風險資產之間提供流動性,我們還做出了一個特別殘酷的假設,即所有進入池子的交易都是知情的(套利交易僅在 AMM 的價格與正常交易價格之間出現偏移時纔會發生)。

換言之,整個池子在每次交易後都會經歷虧損

傳統思維

乍一看,在這種情況下,成爲 Uniswap LP 似乎是一個代價高昂的錯誤。

由於做市商要求買入的價格要低於賣出的價格,因此當資產價格不動時,他們直接獲利,他們得到的買入和賣出量大致平衡。這些交易通常被稱爲「不知情」交易,因爲它們與短期價格走勢無關。

另一方面,做市商在價格下跌之前買入資產,或在價格上漲前賣出,都會虧損。因此,做市商最害怕的交易對手之一就是套利者,他們只有在價格發生變化時纔會來交易,並將做市商拋在身後。套利者所執行的每筆交易,對其而言都是純利潤,而對於做市商來說則是純虧損。

由於在我們的 Uniswap 問題設置中沒有不知情的交易(實際上,我們假設了每一筆交易都是套利交易),因此,LP 顯然會經歷非常大的損失。

挑戰

然而,Dan 和 Charlie 認爲這個故事並沒有到此爲止。

他們懷疑,對於某些潛在的價格動態而言,成爲 Uniswap LP 仍然是有意義的。

他們將這個問題拋給了數學金融領域的傳奇人物 Steven Shreve,然後在 Twitter 上公佈了這個問題,Martin Tassy 和我獨立地提出了部分解決方案,然後合作將完全的解決方案擴展到通用情況。

在接下來的幾個星期裏,我們四個人花了一些時間通過電報討論結果,尋找錯誤,建立我們的直覺,而這些討論正是這篇文章的基礎。

解決方案

如果一項資產的波動性相對於其平均回報率足夠高,那麼隨着時間的推移,Uniswap 上的 LP 將比囤幣者(HODLer)的表現更好,即使是在所有交易都是套利交易的情況下。

這是由於一種稱爲「波動性收穫」的現象造成的:在某些條件下,通過週期性地對兩種資產進行再平衡,它們的表現有可能超過任何靜態投資組合。在這種情況下,「再平衡」是指進行交易,使每項資產中持有的總資產組合價值的比例返回到固定的配置,例如 50/50。

因此,當 LP 被套利時,他們基本上會向市場支付一筆費用,爲他們重新平衡投資組合。在這個特定的數學環境中,當這種再平衡是有益時,你就要儘可能多地這樣做。這意味着流動性提供者應將其費用設置爲儘可能低而不爲零。

這對於 Uniswap 來說是個好消息,因爲這意味着即使在套利交易佔主導的情況下,仍然可以享受低廉的費用,這使 Uniswap 在鏈上訂單不斷增加並開始提供更小的價差時保持競爭力。

也就是說,值得重複的是,這些結果適用於非常特殊的程式化數學設置,其中涉及的假設與 Black-Scholes 期權定價模型非常相似。爲了數學上的方便,我們還假設了一個不同於 Uniswap 生產中使用的費用結構。

對照標準

我們通過比較它們的漸進式財富增長率來評估不同的策略,這些增長率衡量它們在長期內複合(或損失)價值的速度。

這個數量是很重要的,因爲隨着時間的推移,優化它的策略比幾乎不確定的策略執行得更好。

我們將所有策略與「未平衡投資組合」進行比較,後者的一半價值是穩定幣,另一半則是風險資產,在這之後再也不會改變。這也是衡量 AMM 中所謂的「無常損失」的社區標準。

不管發生什麼,未平衡的投資組合總是持有相同數量的穩定幣,這意味着,在最壞的情況下,當風險資產失去其全部價值時,未平衡的投資組合將幾乎完全由穩定幣組成,因此從長期來看增長率將爲零。

另一方面,如果風險資產呈指數增長,它將很快成爲未平衡投資組合的主導,因此其增長率與風險資產相同。

值得注意的是,兩個投資組合可以共享相同的漸進式財富增長率,而在近距離表現上卻截然不同。例如,如果風險資產的增長率爲零,那麼零費用的 Uniswap 的股份價值將始終低於未平衡的投資組合,但由於預計隨着時間的推移,兩者都不會複合增長或虧損,因此兩者的財富增長率都將爲零。

波動性阻力(Volatility Drag)

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?50% 損失 /75% 收益過程中的波動阻力

要理解這些結果,首先要理解波動性阻力(volatility drag)的概念。假設我們的風險資產,其價格每年要麼下跌 50%,要麼上漲 75%,並且兩者發生的概率相等。

在任何一年,如果我們投資該資產 100 美元,我們的期望值是(50+175)/2=112.5 美元。如果我們簡單地買入並持有,則我們的投資組合的預期價值將逐年增加 12.5%,這似乎是個不錯的交易。

不幸的是,在現實世界中,我們的利潤不會實現。如果我們購買並持有這種證券,我們最終將失去一切。

這是因爲,隨着時間的推移,財富的複合會帶來災難性的損失。

如果我們一年損失 50%,然後下一年增長 75%,那我們最後擁有的只有投入時的 87.5%(即 50% * 175%)。

隨着時間的推移,大數定律會保證我們的收益爲每年 -15%,那我們將不可避免地破產。

等等,發生了什麼?

如果你受過從期望值的角度分析賭博的訓練,那麼前一節很有可能看起來非常奇怪,甚至可能完全不正確。

實際上,一個多星期前,我們有了這個問題的完整的、閉合式的數學解,在此之前我完全不知道它在直覺上意味着什麼。

究其根源在於:期望值是一個理論量,它衡量了如果我們在無數平行宇宙中同時複製給定的博弈,將會發生什麼。

但現實並非如此,每次博弈我們只有一次機會,而我們所進行的博弈的效果不是瞬間的,而是隨着時間的推移而複合的。

我們可以從另一個角度來看待它,以幫助調和數學。隨着我們不斷重複(-50%/ + 75%)博弈,每次都將資金再投資,只有極少數的路徑是正確的,從而產生了天文數字的回報。

隨着時間的推移,這些路徑在所有可能的路徑中所佔的比例越來越小,而我們真正看到其中一條路徑實現的機會也會縮小到零。

再平衡的價值

面對波動性阻力,即使在預期值爲正的情況下,也要將部分資金儲備起來。這樣,當事情出了問題時,你的損失就會減少,從長遠來看,這會增加你的複合財富。

就交易而言,所有這些都會產生一些相當熟悉的概念。當價格上漲時,有時平倉部分頭寸以鎖定利潤,以防價格再次下跌。當價格下跌時,有時,爲了以一個有利的價格獲得預期的未來回報,抄底是有意義的。

在某些情況下,比如這一次,最佳策略是不斷地重新平衡你的投資組合,這樣你在每一個頭寸上總是有固定比例的財富投資,比如說,一半穩定幣,一半風險資產。這並不總是最佳的平衡,一般來說,你希望投資組合中的風險資產越多,其回報率相對於其波動性越高,但我們將進一步的探索推遲到未來的工作。

對長期財富增長進行再平衡的好處可能是巨大的,可能意味着指數級財富增長和破產之間的區別。即使在我們設置的背景下,每一筆再平衡交易的價格都很不利,並造成瞬時損失,這也是事實。

資源

很有可能你對這些解釋感到不滿意,並想了解更多。

你可以先回顧一下凱利公式,這是一個基於這些原則的理論上最優的投注策略。@wpoundstone 的《財富公式》是一本備受推崇且易於閱讀的關於凱利公式歷史和含義的書籍。

另一方面,對於財富增長數學的深入研究,我強烈推薦 @ole_b_peters 的遍歷性經濟學課堂講稿或他在《自然》雜誌上發表的文章。

如果你選擇要自己研究,那你一定要小心,這是一個鮮爲人知的領域,在我自己的研究過程中,我發現很多資料來源都有錯誤,這使我的理解倒退了數小時或數天。

特別是,如果你看到有人呼籲均值迴歸或對數效用函數,我建議你不要停留,繼續前進。這一領域的關鍵結果不需要假設任何特定的收益分佈或效用函數。

費用鍊金術

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?

在這種設置下,什麼時候成爲 LP 是有益的,LP 應儘可能經常地重新平衡,以最小的成本促進再平衡?

(收費應儘可能低,而不應該爲零,以便通過日益微小的價格變動觸發再平衡。Dan Robinson 稱之爲「在量子泡沫中撿拾便士」。)

然而,當費用完全爲零時,再平衡的所有好處都會消失,而且在大多數情況下,LP 的境況比他們僅僅持有未平衡投資組合的情況更糟糕。

理解這一看似反常的現象,有助於揭示問題的其餘部分。

Uniswap 使用「恆定乘積」不變量,這意味着在不收取費用的情況下,每筆交易都必須保持儲備金餘額的乘積不變。我們將此表述爲 Rα Rβ=C,儘管已熟悉 Uniswap 的讀者可能更習慣於將其寫成 x*y = k。

然而,事實證明,爲了實現再平衡,這種乘積 C 的數字必須增加,以便爲我們提供超額的財富增長。

爲什麼 C 是如此重要的?我們說 √C 是我們的儲備金餘額 Ra 和 Rb 的幾何平均數。與算術平均數一樣,幾何平均數隨着儲備量的增加而增加。然而,與算術平均數不同的是,幾何平均數隨着儲備量的失衡而縮小,即使它們的算術平均數保持不變。

在不收取任何費用的情況下,C 是恆定不變的,因此交易總是導致更大的儲備或更平衡的儲備。這兩者從來不會同時存在,因此,財富增長沒有動力。

然而,在現實世界的 Uniswap,或我們設置的環境中,非零費用保證了每次交易 C 都會增加。隨着時間的推移,這意味着儲備金不僅在增長,而且還保持平衡,這提供了上面討論過的好處。

要了解這是如何計算的精確數學,請參閱 Martin 和我的證明論文的 3.1 部分。

數學

說了這麼多,我們現在可以準確地回答 Charlie 最初問題陳述中提出的問題。

重申一下,他們關注的是 Uniswap 風格 AMM 的財富增長率 G,其中百分比費率 1-γ影響穩定幣和波動資產(以幾何布朗運動波動,並帶有參數μ漂移和σ 波動性)之間的市場。

LP 財富增長率

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?

最優費用和超額回報

當且僅在以下情況下時,作爲一名 LP 持有一半穩定幣和一半風險資產的收益,要超過單純持幣:

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?

在這種情況下,LP 應將他們的費用設置爲儘可能低但不爲零,他們將實現財富增長率逐漸接近

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?

解釋

由於幾何布朗運動模擬複合增長,它們也受到波動性阻力的影響,其在數學上表示爲

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?

財富增長率爲:

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?

這給了我們一個觀察結果的視角:再平衡使我們能夠部分抵消基礎資產的波動性阻力。如果沒有波動性阻力,平均回報也爲零或負,那麼再平衡的數量也將無濟於事。儘管重新平衡後的投資組合仍會比僅僅持有資產本身做得更好,我們最好還是隻持有穩定幣。

另一方面,如果沒有波動性阻力的平均收益爲正:

  1. 如果波動性阻力使資產損失超過其平均對數回報的 200%,那麼在 Uniswap 上進行再平衡將無法消除足夠多的阻力,那你最好還是持有穩定幣。
  2. 如果波動性阻力使資產損失低於其平均對數回報的 66%,那麼在 Uniswap 上進行再平衡是不值得的,你最好還是簡單地持有資產。
  3. 在這個範圍內,成爲 Uniswap LP 最終會讓你變得富有,事實上,要比你持有任何穩定幣和波動資產組成的未平衡投資組合更富有。這既包括一些最終將變得一文不值的資產,也包括一些將呈現拋物線增長的資產。

證明

關於完整證明的預印本論文你可以在這裏找到。它的工作原理是爲離散隨機遊走建立動力學模型,然後在將步長縮小到零時採取行爲限制。

你也可以查看我爲零對數漂移情況的原始證明,並在此處進行一些問題模擬。

我們應該對這些研究結果給予多少信任?

在我個人看來,這是非常可信的。

我們有兩種獨立的證明方法,而它們在域重疊時會產生相同的結果。我們還有一些模擬可以驗證我們的預測:

Paradigm 研究:如何運用再平衡策略在 Uniswap 獲利?模擬與預測的財富增長率

儘管如此,這仍然是一個非常令人困惑的領域,在過去的幾週中,我對它的理解已經發生了許多次變化。如果你確實發現了錯誤,請隨時與我們聯繫。

未來的工作

儘管我們希望你同意這些研究結果在理論上是有趣的(或者是令人發瘋的),但仍有大量的工作要做,以確定它們與現實世界的相關性。

例如,我們的許多假設可以修改或擴展:

  1. 如何將這些結果轉化爲多資產案例,或者什麼時候 LP 可以選擇像 Balancer 那樣的 50/50 以外的比例來重新平衡?
  2. 當我們不再允許每單位時間進行無限交易時會發生什麼?
  3. 當我們引入交易成本,而其甚至可以變化以反映優先 gas 拍賣動態時,會如何呢?

還有一些實證問題:

  1. 我們能爲今天市場上的證券類交易估計這些參數嗎?
  2. 有多少積極交易的代幣,可以從我們描述的這種再平衡策略中受益?
  3. 我們能否確定由於波動性收益而在現實中實現 Uniswap LP 回報的比例是多少?

最後,也許是最有趣的是。我們如何才能將在此學到的知識用於改進現有協議,是創建一個新的協議,還是作爲一個整體來發展 DeFi 生態系統?

有什麼問題?想法?潛在的應用?我們想要聽聽你的聲音。

@charlienoyes 、@danrobinson、@_Dave__White、@MartinTassy

感謝 Vitalik Buterin、Matt Huang、Georgios Konstantopoulos 以及 Alex Evans 爲本文提供的意見。

來源鏈接:research.paradigm.xyz