交易所衍生品——期權產品|標準共識

Overview 概述

本文將通過對比股票市場期權產品、商品交易所期權產品以及比特幣期權產品來介紹比特幣期權市場價格的有效性。

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風險中性概率

在我們開始討論不同的期權定價模型之前,我們需要了解風險中性概率的概念。風險中性概率廣泛應用於期權定價中,在不同的期權定價模型中可能會遇到。風險中性概率是根據風險調整後的未來結果的理論概率。這一概念背後有兩個主要假設 :

  1. 資產的當前價值等於以無風險利率折現的預期收益。

  2. 市場上沒有套利機會。

風險中性概率是指股票價格在風險中性世界中上升的概率。但是,我們並沒有假設市場上所有的投資者都是風險中性的,也沒有假設風險資產會獲得無風險的收益率。這個理論價值衡量的是購買和出售資產的概率,就好像市場上所有東西都有一個單一的概率一樣。

期權定價

在介紹各市場期權產品之前,我們首先探討一下本文即將使用的兩種期權定價方式:B-S 定價模型以及 B-A-W 定價模型。

B-S 定價模型

首先來看推導 BS 微分方程時用到的假設:

  • 期權的行權方式爲歐式,即只有到期日纔可以行權。

  • 股票的價格符合幾何布朗運動,即股票的不確定性滿足對數正態分佈。

  • 可以做空證券,且證券可以被分割(如可以買賣半手股票)。

  • 市場無摩擦,即不存在交易費用和稅收。

  • 在期權期限內,標的股票不支付股息。

  • 在期權期限內,標的股票年收益率的標準差 σ 已知且保持不變。

  • 市場不存在無風險套利機會。

  • 標的資產交易是連續的(如股票市場始終開市)。

  • 短期無風險利率(由 r 表示)爲常數並已知。

不過,這些假設可以放寬,並在必要時根據特殊情況進行調整。此外,我們可以很容易地使用這個模型來爲股票以外的資產 (貨幣、期貨) 的期權定價。

根據 Black-Scholes 模型,我們可以推導出以下數學公式來計算歐洲看漲期權和看跌期權的公允價值 :

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上述公式使用了風險調整後的概率。N(d1) 是風險調整後的在期權到期時收到股票的概率。N(d2) 是期權將被執行的風險調整概率。這些概率是使用因子 d1 和 d2 的正態累積分佈計算的。該公式給出了非派息股票的歐洲看漲期權的價值 / 價格。函數 N(・) 代表累積分佈函數爲正態 (高斯) 分佈,這是一個隨機變量的概率是小於等於其輸入條件 (即 d₁和 d₂) 正態分佈的。概率 N 的值 (・) 換句話說永遠是 0≤N(・)≤1 之間。輸入 d₁ 和 d₂ 得出 :

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Black-Scholes 模型主要用於計算歐式期權的理論價值,由於美式期權具有在到期日之前行權的特點,因此不能應用於歐式期權。

Black-Scholes 模型中使用的主要變量包括 :

  • 標的資產的價格 (S) 是該資產的當前市場價格

  • 執行價格 (K) 是期權可以被執行的價格

  • 波動率是衡量證券價格在隨後的階段變動幅度的指標

  • 截止時間 (T) 是指從計算日期到執行日期之間的時間

  • 利率 (r) 爲無風險利率

股息收益率最初並不是模型的主要輸入內容。最初的 B-S 模型是爲無股利股票的期權定價而開發的。由於我們通過 Delta 對衝消除了隨機性,該方程中沒有任何隨機變量,所以它是一個一般的(偏)微分方程,而非隨機微分方程。求解這個微分方程需要給定的邊界條件。對於歐式看漲期權,它的邊界條件爲當時間 t= T (行權時刻)時,期權的價格 C 必須滿足 C = max (S (T)-K,0 ) 這裏 K 是行權價格。

對於任何一個期權,在定價時有兩個不確定性需要考慮:

這個期權到行權日到底是不是實值期權(in-the-money),就是到底有沒有行權的價值(比如說我買了一個看漲期權,但是行權日股價 S 低於 K,那麼這個期權就沒有價值)。

如果行權了,那麼我們的(期望)收益到底能有多少(比如行權價是 200,在行權日股價是 220,那麼每股我們能賺 20 塊;而如果股價是 120,則每股我們虧 80 塊)。

這兩個不確定性恰恰就對應着由 BS 定價公式中的 N (d1) 和 N (d2) 。

B-A-W 定價模型

我們知道,歐式期權只有在到期日才能行權,美式期權在到期日前的任何時候都能行權,就是這種行權時間的靈活性賦予了它相對歐式期權的一個溢價,那麼,問題就清楚了,美式期權的定價公式如下:

美式期權價格 = 歐式期權價格+溢價

那麼具體怎麼計算呢,首先我們先引入一個描述期權價值的衆所周知的偏微分方程 :

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這只是對 B-S 模型的基本假設做了一些調整。基本上,我們允許對標的資產發放股息 (d),並假設其收益率爲不變。股息收益率定義爲每股股息除以股價。資產的持有成本 (b) 是無風險回報率減去年度股息收益率 (b = r-d)。當 d = 0 和 b = r 時,這是普通的 B-S 公式。當 r = d 和 b = 0 時,這是期貨期權的 B-S 模型。

提前行權溢價的定義爲:

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在這裏我要多解釋一句:其中,C (S,T) 是美式期權價值,c (S,T) 是歐式期權價值。這裏的基本要點是,美式期權的價值必須等於歐式期權價值加上一個額外特徵的溢價。現在,讓時間從到期日的時間向後發展 ,* t,此時此刻的時間爲 t。然後到期時間 T 的定義是 T =−t -t 溢價率的變化對時間是一個等式 εT=−εt。我們將這個結論應用於之前的偏微分方程,得到了提前行權溢價的偏微分方程。

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我們用 M = 2r/σ^2, N = 2b/σ^2 帶入公式,把他簡化一下:
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然後 Barone-Adesi & Whaley 將提前行權溢價改寫爲 εc(S,K)=K(T)f(S,K),表示爲到期時間和股價的函數。可得 εSS = -KfSS 和 εT= KKTf + KKTfK。將這些代入上式,通過收集項和因式分解可知

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其中,K (T)= 1-exp (-rT)是已知條件。

到目前爲止,我們還沒有做出任何近似,因此這仍然是一個精確的分析。現在看看 (1−K)MfK LHS 的最後一部分。通過讓 T 趨於 0,fK 趨於 0,如果 T 趨於無窮,K 趨於 1。因此通過消去最後一項,剩下的方程是一個整潔的二階常微分方程。

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我們通過求線性解,得出一個通用解:

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顯而易見,現在有一個問題,那就是如何承認和設定公式的邊界條件。由於 q1 < 0,則當 S = 0 時,f (S)→±∞。這是不太合理的,因爲從邏輯上講,不值得爲不值錢的東西支付額外的錢。一般來說,如果 S 趨向於零,那麼提前行權溢價也必然趨向於零。因此施加約束 a1 =0,使 a2S^q^2 永遠不能接近 ±∞。這個公式可以寫成

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到這裏,公式的推導基本就成功了。另外我們利用牛頓迭代法,就可以得到
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這也就是公式的最終解。

實例分析

首先,我們分別取用了道瓊斯、標準普爾 500 和納斯達克指數基金的期權(美式期權)以及 OKex、Deribit 和上證 50 ETF 的期權(歐式期權)進行比較。

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我們分別計算了上述六個期權的期權費與行權價的比、期權費與限價的比、限價與行權價的比。並通過 B-S 模型和 B-A-W 模型分別計算了他們的模型價值以及實際期權費與模型期權費的偏移值。

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從圖中可以看出,與模型差距最小的是 okex 和 deribit 的期權,其中 okex 的期權與模型價格相差無幾。歐式期權價格偏移值明顯高於美式期權,這也是由於模型缺陷造成的正常現象。

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我們同時計算了這六個看漲期權的 break even price 和行權價以及和現價的偏移值,可以看出,btc 期權的偏移值明顯高於其他期權。

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於是,我們每個期權採集了八條不同行權價的期權,總共 48 條數據進行觀測,試圖尋找期權中的偏移值與隱含波動率的關係,結果如下:

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根據觀測的結果,我們可以發現偏移率能夠解釋 98.43% 的隱含波動率情況,也就是說,線性推導關係成立。所有的期權偏移率與其隱含波動率完美符合,即 btc 期權市場有效性與其他市場有效性相同。


注 1:數據採集於 7 月 9 日下午 2 時 37 分

Conclusion 結語

對於投資者來說,除持倉風險外,對 OKEx 與 Deribit 交易所基本可以排除其市場定價有效性的懷疑。

風險提示:

  • 警惕打着區塊鏈和新技術的旗號進行非法金融活動,標準共識堅決抵制利用區塊鏈進行非法集資、網絡傳銷、ICO 及各種變種、傳播不良信息等各類違法行爲。

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