在不合作的納什均衡與最優合作的帕累托最優間有着顯著的差異。而要讓整個行業實現帕累托最優,需要一個有公信力與中立地位的礦業聯盟。

原文標題:《謝丹:礦機的數學博弈論 如何實現帕累托最優(燒腦深度)》
撰文:謝丹,芯脈微電子 CEO

加密貨幣的挖礦是一個新興的行業,其產業鏈短、技術立足的特點使得礦機定價是一個很奇妙的博弈:定價高了,礦機商賣不出去;定價低了,礦場賺了大部分錢。其實礦場中礦機本身的運營,也是需要數學博弈論在後面支撐的。

挖礦主要的數學模型關注的就是幾個:幣價、算力、算力功耗。在這裏,我們舉一個最簡單的案例來說明:假設不考慮幣價漲跌,某礦幣每日產出是 100 萬元,A 目前全部挖礦算力爲 10T,每 T 功耗爲 5 萬元。假設 A 沒有對手,那麼 A 產出 100 萬,電力成本 50 萬,從而有 50 萬的利潤。

這時,出現了新的礦場 B,其礦機的每 T 功耗爲只有 A 的一半,也就是每 T 爲 2.5 萬元。B 手上也有 10T 的算力。B 加入後,對挖礦市場的分配就是一個巨大的變動。

現在全礦場共 20T 算力,每日產出還是 100 萬。B 屬於後進來者,而且功耗領先。B 10T 的每日產出爲 50 萬,而成本爲 25 萬,從而每日有 25 萬的利潤。但 A 就是隻有 50 萬產出了,而成本也爲 50 萬,從而利潤爲 0。

當然,真實的情形下,A 會降低自己的產能,那麼降到多少呢?這個很容易計算,A 假設算力爲 x ,全網算力就是 10+X,所以 A 的收入是 100*X/(10+x),其成本爲 5X,所以利潤爲 100X/(10+X) - 5X。A 的最優解,我們可以進行微積分求導,解的結果爲

X=10*(√2 -1) = 4.1 T。當然更直接的辦法是拉一個 excel 表。

讀懂比特幣礦業的數學博弈:如何實現帕累托最優?

而這個時候 B 的收益爲 100* 10 /14.14 -2.5*10 = 45.72。

而且 B 收益微積分求導後,是單向的,也就是 10T 纔是最大收益。

按照博弈論的說法,這就是達到了納什均衡,A 與 B 兩者單獨變化都會對自己不利,這是一個穩定的解。

案例 1,第一層,納什平衡下,B 收益從 25 萬到了 45.72 萬;A 收益從 0 到了 8.6 萬。

上面這個案例只有一個能變的參數,就是算力。我們假設再引入一個技術優化變量:降電壓降低算力功耗。某些礦機上存在降電壓的可能,也就是降低算力,可以降低算力功耗。我們先假設一個最簡單的降低電壓模型,就是算力是功耗的平方關係。

從而上面 A 的另外一個選擇,就是把 10T 的電壓降下來,比如從 1v 降低到 0.7v,此時算力功耗基本可以降低一半,也達到每 2.5 萬 /T 的功耗,但是機器算力則從 10T 下降到 1/4,變爲 2.5T 。

在這樣的假設下,A 和 B 的最優點都是滿載,從而 A 收入:

2.5*100 /12.5 - 2.5*2.5 = 13.75 優於原來 8.6 萬。

B 的收入爲 :

10 *100 /12.5 -25 = 55 也優於原來的 45.72 萬

降電壓是一個技術,也就是說我們通過技術改進,實現了帕累託優化。

案例 2,第二層 ,通過技術改進,實現了 B 收益 55 萬,A 實現收益 13.75 萬。

納什均衡是一種非合作的博弈論,其實還有合作模式的博弈論。

在上面兩個案例,都是非合作博弈,A 如果具備降電壓技術,可以收益 13.75 萬,如果不具備降電壓技術,只能收穫 8.6 萬,這是 60% 的利潤差。

案例 3,這種情形下,AB 礦場可以進行合作模式,這多半是授權模式,在 AB 關係好,能合作,則 B 有償轉移降電壓技術給 A(比如收取算力 5%),從而 A 收益在 25* 0.95/1.25 - 2.5*2.5 = 12.75 萬 ,B 收益在 55 + 1 = 56 萬。

在案例 3 之上,還有一種更優的合作模式:

案例 4:就是 A 的礦機有出租或者出售模式,B 直接購買 A 的礦機,然後關掉 A 的機器,從而維持 10T 的總算力不變。

案例 1 中,A 依然收益 依然是 8.6 萬,B 的收益則爲 100-25-8.6 = 66.4 增長了 45% 的收益。

案例 2 中,A 依然是 13.75 萬,B 的收益爲 100-25 -13.75 = 61.25 增長了 11.4%

這就是第三層,通過商業合作,實現更高收益。

從小小的一個礦機案例,我們可以看到博弈論的經濟學體現:納什均衡-》技術的帕累託優化-》商業分工與合作。

在更加真實的商業環境下,幣價時刻在起伏,除了 AB 這樣大礦場主,一般還有 C、D、E 的小礦場主,有的礦場有電費優勢 (等價於功耗低),有的礦場有運營技術優勢(能固件降電壓),有的礦場能更快拿到算力(市場優勢),有的礦場有資金優勢。但是,在不合作的納什均衡與最優合作的帕累托最優有着顯著的差異。而要讓整個行業實現帕累托最優,就需要一個有公信力與中立地位的礦業聯盟了。