曲率選擇如何影響恆定函數做市商 CFMM 流動性與價格穩定性?

原文標題:《一文了解 DeFi 恆定函數做市商(CFMM)的曲率權衡(一)
撰文:Tarun Chitra、 Guillermo Angeris 與 Alex Evans
翻譯:灑脫喜

2019 年 Uniswap 的崛起是 DeFi 交易的分水嶺。Uniswap 的簡潔性、gas 效率以及性能,使其迅速成爲鏈上交易的主要場所。而今年初推出的 Curve 則表明,即使是對恆定函數做市商(CFMM)的設計進行微小改變,也可以大幅提高資本效率及表現。特別是,Curve 開創了局部更平滑的曲線,它爲穩定幣之間的交易提供了較低的滑點。這一調整使得 Curve 能夠捕獲到大量的交易量,同時又能在常規情況下超越現有中心化交易所和場外交易平臺。由於 Curve 的成功,曲率越來越被認爲是 CFMM 設計空間的組成部分。然而,曲率的選擇對市場行爲的確切影響,尚沒有得到深入的研究。

簡析 DeFi 恆定函數做市商 CFMM 的曲率權衡顯然,人們很難聽出鼓的形狀(Marc Kac,1966),那 CFMM 呢?

在這一系列的文章中,我們開始提出 CFMM 曲率形狀的概念。我們討論了曲率選擇對均衡價格、穩定性、流動性提供者(LP)回報以及市場微觀結構的影響。這些文章的觀點,來自我們接下來會發布的論文《狗尾巴什麼時候搖?曲率與做市》。我們會在該系列文章的第三篇發佈時,同時發表這篇論文。

在第一篇文章中,我們將提供曲率的一個定義,並討論其對流動性和價格穩定性的影響。

2020 年的夏天改變了 CFMM 的面貌。很大程度上因爲收益農耕(yield farming)活動的影響,CFMM 市場越來越成爲各種資產對最具流動性的市場。這就需要一個新的分析框架來研究這些市場。我們發現曲率爲研究 CFMM 主導市場提供了缺失的環節。當 CFMM 成爲最具流動性的交易場所時,其他交易場所大多會根據 CFMM 的價格進行調整。我們框架的第一步,是瞭解流動性有限的場所如何相互影響。

兩種市場模型

假設有兩個交易場所可以交易給定的一個資產對。而其中一個交易場所的流動性要比另一個更高。那我們如何模型化流動性的差異?一個簡單的練習就是觀察固定規模交易的影響,如果相同規模的交易導致一個市場的價格變化大於另一個市場,我們就可以粗略地判斷說「前者的流動性較低」。在 CFMM 的例子中,這個簡單的模型具有令人驚訝的描述性。CFMM 爲每一個資產對都實現了一個特定的曲線,允許我們精確地描述給定交易的影響,這就是曲率的來源。非正式地說,曲率描述了 CFMM 在一筆小型交易後報告的價格絕對變化。在其他條件相同的情況下,存儲資金量較高的 CFMM 將表現出較低的曲率。然而,對於給定的存儲資金值,一些 CFMM 的曲率要比其他的要低。通過比較 Uniswap 和 Curve,我們就可以看出差異。從存儲量相等的點開始,從下圖可以看出,Uniswap 在點 x = y = 5 處具有比 Curve 更高的曲率。

簡析 DeFi 恆定函數做市商 CFMM 的曲率權衡

如我們所見,曲率爲給定市場的流動性提供了一個優雅的模型。市場的曲率越低,給定交易的價格影響就越小。

大多數 CFMM 模型都假設流動性有限的 CFMM 和流動性無限的「參考」市場。這些模型表明,在相當普遍的條件下,CFMM 的價格將由套利者進行調整,以反映參考市場的價格。這些模型在實踐中表現良好,因爲 Uniswap 與其他交易場所的套利問題通常是凸性的,所以套利者可以輕鬆地弄清楚如何調整準備金以反映當前的市場價格。該理論鞏固了 CFMM 在各種鏈上應用中作爲價格預言機的使用(例如 Uniswap v2 預言機)。然而,在經歷了 2020 年夏季 CFMM 的繁榮之後,我們需要一個能夠更好地捕捉 CFMM 驅動市場現實的模型。

要做到這一點,請翻轉劇本。假設我們有一個高流動性(低曲率)的 CFMM 和一個流動性較小(高曲率)的參考市場。參考市場可以基於 CFMM、訂單簿、報價請求系統、拍賣或任何組合。市場的選擇不會影響模型,只要它具有非零曲率(有限的流動性)即可。如果兩個市場的價格不同,套利者可以通過在每個市場進行抵消交易來獲利,直到兩個市場報告的價格一致爲止。如果兩個市場的流動性相等,我們預計由此產生的無套利價格將介於兩個市場的交易前價格之間。然而,如果 CFMM 流動性更強,最終價格將更接近於 CFMM 套利前的報價。換句話說,如果 CFMM 的流動性明顯高於參考市場,那麼參考市場價格的變化,對無套利價格的影響較小。

要了解這一點,請考慮下面的示例。我們有一個 60:40 的 Balancer 池以及一個 Uniswap 池。對於同樣價值的儲備資金,Uniswap 池的的曲率會略低。爲了強調差異,我們就假設 Uniswap 池稍大一些。在下圖中,Balancer 和 Uniswap 上的報價從不同的點開始(它們的切線斜率不同)。套利者在一個市場買入,在另一個市場賣出,直到兩條切線的斜率相等。請注意,Balancer 的價格變化要比 Uniswap 池子的價格變化更大,但差別並不是很大。這是因爲這兩個市場的曲率實際上相當接近,儘管 Uniswap 市場的儲備更高,權重也稍爲均衡。

簡析 DeFi 恆定函數做市商 CFMM 的曲率權衡Uniswap 和 Balancer 之間的套利

然後我們將對比對象換成一個 Uniswap 池,以及一個 Curve 池,它們具有大致相等的儲備資金。在這種情況下,Curve 的價格幾乎沒有變動,而 Uniswap 的價格調整則較大。

簡析 DeFi 恆定函數做市商 CFMM 的曲率權衡Uniswap 和 Curve 之間的套利

當交易的資產對價格大致相等時,Curve 的曲率要比 Uniswap 低得多。這意味着,即使流動性較小場所的價格波動很大,最終價格也不會與 Curve 的報價相差太大。注意,這種套利在實踐中極爲普遍。以太坊上的套利機器人不斷在 Balancer、Uniwap、Curve 池以及基於訂單簿的交易所中調整價格。在我們即將發表的論文中,我們通過數學方法確定了這種效應。如果 CFMM 相對於參考市場具有更高的流動性,那麼即使參考市場價格出現較大偏差,對無套利價格的影響也將是最小的。我們證明,只要價格跳躍是由某個(潛在的大)常數所限制,這一點就成立了。這一假設排除了極端情況,例如穩定幣錨定完全脫鉤。最後,在腳註 0 和腳註 1,我們概述了在正式描述曲率時需要考慮的一些技術和數學方面的考慮。

sUSD 的奇特案例

我們已經看到,低曲率的 CFMM 可以「將自己的意願」強加給更廣的市場。這也有助於解釋另一個現象:價格穩定。從 2020 年 3 月開始,Synthetix 宣佈將激勵 Curve 上 sUSD 的流動性,以更好地支持 sUSD 錨定匯率。在 Curve 上創建這個 sUSD 池子對錨定產生了近乎直接的影響:sUSD 開始更加密切地追蹤其他穩定幣的價格。下面,我們展示了從 2019 年末到 2020 年 9 月在 Uniswap 上 sUSD 的價格。這個 sUSD 池子於 2020 年 3 月中旬正式啓動(在安全事件發生後不久重啓)。從 2020 年 3 月底到 6 月初,sUSD 在 Uniswap 上的價格很好地錨定了。我們預計,Curve 和 Uniswap 之間的套利促成了這一效應:只要 sUSD 在錨定匯率附近的價格波動是有界的,套利者就會被激勵,使 Uniswap 的價格與 Curve 的價格保持一致。

請注意,sUSD 在除 Curve 之外的所有其他市場都缺乏流動性,這導致 Curve 和所有其他市場之間的曲率差非常大。

簡析 DeFi 恆定函數做市商 CFMM 的曲率權衡

同時,這些數據也顯示了我們的兩種市場模型的侷限性。在 6 月份的第二週,sUSD 開始更加頻繁地脫鉤。這種新的情況幾乎與 2020 年 6 月收益農耕的出現完全吻合。2020 年 6 月上旬至中旬,Compound 和 Balancer 啓動了第一個流動性挖礦計劃。SNX (sUSD 的主要抵押品)的價格開始出現拐點,在 6 月份上漲了兩倍多,並在整個夏季繼續上漲。其他 DeFi 項目也啓動了流動性挖礦,而穩定幣是大多數流動性挖礦策略的核心。結果是,幾乎所有的穩定幣因收益農耕的需求而增加了波動性。顯然,我們的雙市場模型並沒有捕捉到這些因素。因此,我們需要將模型擴展到包括收益農耕及其與曲率的相互作用。我們將在之後的文章中討論這一擴展。

曲率的代價

低曲率是要進行權衡的,如果 CFMM 的曲率爲零,則 CFMM 的報價不會發生變化,而無論交易量是多少。因此,恆定和曲線(如 mStable)爲 CFMM 可持有的每個穩定幣設置了界限,以防止 LP 完全持有表現最差的資產。

當資產高度相關且均值回覆時,低曲率 CFMM 表現更好。在這種環境下,CFMM 能夠通過較低的曲率吸引更多的交易量和費用,而均值迴歸則調節了無常損失的影響。穩定幣與穩定幣 CFMM 現在基本上遵循這一原則,對於債券等到期資產,CFMM 也是如此。在下一篇文章中,我們將討論在不對稱信息、均值迴歸以及無常損失的情況下,LP 的曲率權衡。

腳註:

[0] Curve 和 Uniswap 的主要區別之一是,Curve 的定價函數在價格-數量空間的某個區域內「較平滑」,而在其他價格區域內「較陡峭」。爲什麼人們更喜歡這種定價曲線變化的經濟學直覺如下:

  1. 我們有兩種資產,它們的價格(相對於另一種)是均值回覆和低差額(例如,它們的價格通常是相等)的;
  2. 將這些資產保持在彼此附近的交易(例如「軟」錨定)應該是便宜的,因爲它們鼓勵套利者實施錨定。這是通過使曲線變平來實現的,這樣可以降低交易者面臨的滑點和市場衝擊;
  3. 然而,當資產「脫鉤」時,交易者會面臨更高的滑點。這實際上是爲了補償流動性提供者偏離錨定,並確保他們不會退出流動性,凍結市場;

與 Uniswap 對所有價格都有一個更統一的曲率水平不同,Curve 適應了預期在其上進行交易的價格過程(例如均值迴歸、有界方差)。這個例子表明,CFMM 定價函數的選擇與交易的資產類型以及保持流動性提供者滿意所需的激勵措施密切相關。

[1] 除了模糊不清的「更平滑」或「更陡峭」的概念,有沒有辦法使我們形式化?答案是肯定的,這要歸功於卡爾·弗里德里希·高斯。在過去的幾個世紀中,數學家們通過分析和代數,來量化及分類幾何直覺(geometric intuitions)。分析和代數之間的主要聯繫之一,來自固有曲率的概念。曲面的固有曲率表示曲面上的小三角形面積與平面上週長相同的三角形的面積之比。固有曲率的一個關鍵特徵是,它不依賴於曲面的方向或參數化。例如,沙灘球在任何方向上旋轉任何角度時,其固有曲率都不會改變。我們可以將「固有」屬性更一般地定義爲:

對於任何旋轉矩陣 A 和平移向量 b,由 f(Ax+b) = k 定義的曲面與由 f(x) = k 定義的曲面具有相同的曲率。

高斯的絕妙定理 (Theorema Egregium),是微分幾何學早期的關鍵成果之一,它表示隱式定義曲面的曲率(例如,f(x) = k 的曲面)是固有的。

這與 CFMM 曲率的直觀概念有什麼關係?回想一下,定義 CFMM 的等效方法是通過交易集,類似於其不變函數的 epigraph。該集合的邊界是由常函數不變量定義的曲面。當我們談到 Curve 比 Uniswap 更平滑(曲率更低)時,我們提到的就是這個曲面的曲率。

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