在不合作的纳什均衡与最优合作的帕累托最优间有着显著的差异。而要让整个行业实现帕累托最优,需要一个有公信力与中立地位的矿业联盟。

原文标题:《谢丹:矿机的数学博弈论 如何实现帕累托最优(烧脑深度)》
撰文:谢丹,芯脉微电子 CEO

加密货币的挖矿是一个新兴的行业,其产业链短、技术立足的特点使得矿机定价是一个很奇妙的博弈:定价高了,矿机商卖不出去;定价低了,矿场赚了大部分钱。其实矿场中矿机本身的运营,也是需要数学博弈论在后面支撑的。

挖矿主要的数学模型关注的就是几个:币价、算力、算力功耗。在这里,我们举一个最简单的案例来说明:假设不考虑币价涨跌,某矿币每日产出是 100 万元,A 目前全部挖矿算力为 10T,每 T 功耗为 5 万元。假设 A 没有对手,那么 A 产出 100 万,电力成本 50 万,从而有 50 万的利润。

这时,出现了新的矿场 B,其矿机的每 T 功耗为只有 A 的一半,也就是每 T 为 2.5 万元。B 手上也有 10T 的算力。B 加入后,对挖矿市场的分配就是一个巨大的变动。

现在全矿场共 20T 算力,每日产出还是 100 万。B 属于后进来者,而且功耗领先。B 10T 的每日产出为 50 万,而成本为 25 万,从而每日有 25 万的利润。但 A 就是只有 50 万产出了,而成本也为 50 万,从而利润为 0。

当然,真实的情形下,A 会降低自己的产能,那么降到多少呢?这个很容易计算,A 假设算力为 x ,全网算力就是 10+X,所以 A 的收入是 100*X/(10+x),其成本为 5X,所以利润为 100X/(10+X) - 5X。A 的最优解,我们可以进行微积分求导,解的结果为

X=10*(√2 -1) = 4.1 T。当然更直接的办法是拉一个 excel 表。

读懂比特币矿业的数学博弈:如何实现帕累托最优?

而这个时候 B 的收益为 100* 10 /14.14 -2.5*10 = 45.72。

而且 B 收益微积分求导后,是单向的,也就是 10T 才是最大收益。

按照博弈论的说法,这就是达到了纳什均衡,A 与 B 两者单独变化都会对自己不利,这是一个稳定的解。

案例 1,第一层,纳什平衡下,B 收益从 25 万到了 45.72 万;A 收益从 0 到了 8.6 万。

上面这个案例只有一个能变的参数,就是算力。我们假设再引入一个技术优化变量:降电压降低算力功耗。某些矿机上存在降电压的可能,也就是降低算力,可以降低算力功耗。我们先假设一个最简单的降低电压模型,就是算力是功耗的平方关系。

从而上面 A 的另外一个选择,就是把 10T 的电压降下来,比如从 1v 降低到 0.7v,此时算力功耗基本可以降低一半,也达到每 2.5 万 /T 的功耗,但是机器算力则从 10T 下降到 1/4,变为 2.5T 。

在这样的假设下,A 和 B 的最优点都是满载,从而 A 收入:

2.5*100 /12.5 - 2.5*2.5 = 13.75 优于原来 8.6 万。

B 的收入为 :

10 *100 /12.5 -25 = 55 也优于原来的 45.72 万

降电压是一个技术,也就是说我们通过技术改进,实现了帕累托优化。

案例 2,第二层 ,通过技术改进,实现了 B 收益 55 万,A 实现收益 13.75 万。

纳什均衡是一种非合作的博弈论,其实还有合作模式的博弈论。

在上面两个案例,都是非合作博弈,A 如果具备降电压技术,可以收益 13.75 万,如果不具备降电压技术,只能收获 8.6 万,这是 60% 的利润差。

案例 3,这种情形下,AB 矿场可以进行合作模式,这多半是授权模式,在 AB 关系好,能合作,则 B 有偿转移降电压技术给 A(比如收取算力 5%),从而 A 收益在 25* 0.95/1.25 - 2.5*2.5 = 12.75 万 ,B 收益在 55 + 1 = 56 万。

在案例 3 之上,还有一种更优的合作模式:

案例 4:就是 A 的矿机有出租或者出售模式,B 直接购买 A 的矿机,然后关掉 A 的机器,从而维持 10T 的总算力不变。

案例 1 中,A 依然收益 依然是 8.6 万,B 的收益则为 100-25-8.6 = 66.4 增长了 45% 的收益。

案例 2 中,A 依然是 13.75 万,B 的收益为 100-25 -13.75 = 61.25 增长了 11.4%

这就是第三层,通过商业合作,实现更高收益。

从小小的一个矿机案例,我们可以看到博弈论的经济学体现:纳什均衡-》技术的帕累托优化-》商业分工与合作。

在更加真实的商业环境下,币价时刻在起伏,除了 AB 这样大矿场主,一般还有 C、D、E 的小矿场主,有的矿场有电费优势 (等价于功耗低),有的矿场有运营技术优势(能固件降电压),有的矿场能更快拿到算力(市场优势),有的矿场有资金优势。但是,在不合作的纳什均衡与最优合作的帕累托最优有着显著的差异。而要让整个行业实现帕累托最优,就需要一个有公信力与中立地位的矿业联盟了。